Nacido en Barahona en 1897, fue educado en sus primeros pasos por su padre Esteban Cuello, quien fue maestro de escuela por mucho tiempo. Luego su familia, asentada en aquella ciudad del Sur de nuestro país, decidió en 1915, enviar al joven Francisco a estudiar a Santo Domingo. Barahona en esos años se comunicaba por barco hacia otras partes de la República Dominicana o al extranjero. Es de resaltar la valentía de aquel joven de dieciocho años en lanzarse a aquella aventura, y a tratar de cursar estudios en Santo Domingo, debido a que las condiciones de la educación en Barahona, no estaban muy desarrolladas. Se inscribió el futuro doctor en la Escuela de Bachilleres de Santo Domingo y en pocos meses había aprobado el primer curso de bachillerato. Finalmente en 1918, se había recibido como Bachiller en Ciencias Físicas y Naturales.
La familia Cuello había decidido enviar a sus hijos a estudiar y formarse. En 1921 Francisco Cuello se había graduado de Licenciado en Medicina en la Universidad de Santo Domingo, convirtiéndose en el primer barahonero en recibir esa calificación universitaria. Pero además tres de sus hermanos eran abogados y tres farmacéuticos, todo un ejemplo de afán de superación académica poco frecuente a principios del siglo XX dominicano. Su examen final para obtener su título, lo realizó junto a sus compañeros Federico Lavandier y Rafael Roca. El examen tuvo lugar en la clínica Padre Billini, frente a un jurado examinador compuesto por los doctores Ramón Báez, Pedro de Marchena, Salvador Gautier, Aristides Fiallo, Fernando Defilló y Octavio del Pozo. Esos profesores eran parte de los mejores médicos del país en aquellos años. Además, el doctor Báez era el Rector de la Universidad y el doctor de Marchena, Decano de la Facultad de Medicina. El examen era oral, y el postulante debía someter un tema que era discutido junto a los profesores. Desde luego, era un sistema difícil por la gran experiencia del panel examinador, pero fue superado por esos tres jóvenes médicos, que dieron al país grandes e importantes servicios.
Tras graduarse, el doctor Cuello regresó a su ciudad natal, en donde estuvo ejerciendo por algunos años y en el 1926 se trasladó a San Juan de la Maguana primero y hacia Azua en el 1927 designado como subdirector del Hospital Luis Pelletier de aquella ciudad. El director del Hospital era el doctor Simón Striddlels. En el 1929 fue nombrado como Primer Teniente Médico del Ejercito Nacional y trasladado a Santo Domingo. Su carrera siguió discurriendo con éxitos y buenas impresiones tanto como clínico como cirujano. En 1932 es nombrado Director del Hospital San Vicente de Paul en la ciudad de San Francisco de Macorís. Tras dos años en esa zona, regresó a Barahona, en donde desarrolló una intensa vida médica y social. Fue presidente del Ayuntamiento, presidente del Club Rotario, Venerable Maestro de la Logia Perseverancia 26, y además ocupó la presidencia del club social Casino del Sur. Así de intensos fueron aquellos años de la década del 1930. Gracias a su buen nombre como médico, como ciudadano y ejecutivo, a finales de esa década fue enviado a La Vega, a dirigir el Hospital La Humanitaria, para luego y ya en la década del 1940 ser designado Médico Sanitario en Azua y Barahona. Luego viajó por Dajabón y Montecristi, llegando a ocupar la dirección del Hospital Padre Fantino. En 1946 regresó a Barahona, como director del hospital Jaime Mota. Allí siguió su carrera, en los años 1970, tras 60 años de ejercicio profesional servía al país como Inspector de Hospitales. Toda una vida de servicio y dedicación.
