(Presentación de la investigación indicada en el primer párrafo, en el acto celebrado el 26 de abril de 1983 en el Salón de Conferencias de la Biblioteca de la entonces Universidad Católica Madre y Maestra, de la ciudad de Santiago de los Caballeros)
La investigación realizada por el Dr. Luna bajo los auspicios del Centro de Investigaciones de la UCMM [hoy PUCMM] con el título “Generalización de un problema tipo Cauchy-Goursat para ecuaciones hiperbólicas no-lineales” pertenece al campo de las ecuaciones diferenciales parciales y sigue la rigurosa técnica de la investigación matemática en este campo, caracterizada por la tendencia a lograr generalizaciones cada vez más vastas de resultados ya obtenidos.
Tres de las ecuaciones diferenciales parciales clásicas son particularmente importantes: la parabólica, la elíptica y la hiperbólica, correspondiendo cada una de ellas a curvas denominadas características que les son propias, siendo éstas reales para la primera y la última, y complejas para la segunda. Estas curvas desempeñan un papel central en la búsqueda de soluciones de su ecuación diferencial, las que a su vez están sometidas a determinadas condiciones de frontera.
La importancia del estudio de las ecuaciones diferenciales parciales radica en que el tratamiento diferencial de los fenómenos naturales es expresable por ellas, y con la solución de aquéllas se obtiene la descripción de éstos; es decir, las ecuaciones que relacionan las magnitudes físicas que intervienen en ellos.
Las soluciones son en general muy difíciles de hallar, pero como son esenciales para el conocimiento de los fenómenos mencionados, y también para otros (económicos, poblacionales, etc.) se hacen todos los esfuerzos posibles por encontrarlas. A mi entender, la penetración cognoscitiva de la nichos de la realidad se lleva a cabo por un proceso de aproximaciones sucesivas, correspondiendo las aproximaciones de órdenes superiores a modelos más detallados, expresables por ecuaciones diferenciales más complicadas.
Podemos poner como ejemplo la oscilación de una cuerda fija entre sus extremos; suponiendo constante su tensión en cada punto de ella, y a cada instante, resulta un modelo relativamente simple que puede ser tenido por primera aproximación, representado por una ecuación diferencial hiperbólica de fácil solución, siendo las condiciones de frontera la configuración inicial de la cuerda y las velocidades de sus puntos en el instante de partida. Pero si queremos profundizar aún más, hay que considerar variable la tensión de la cuerda en el espacio y en el tiempo; entonces resultará para este caso (digamos segunda aproximación) una ecuación diferencial cuya integración será (y es) una empresa más difícil.
De aquí resulta la necesidad de profundizar en la teoría matemática de las ecuaciones diferenciales parciales, tarea a la que se aplican las matemáticas desde hace tiempo, y con tanta conciencia de su relevancia que esa teoría constituye una de las ramas matemáticas más cultivadas en la actualidad.
Los matemáticos tienen, sin embargo, su manera de hacer las cosas. Estudian el tema con todos sus recursos, llevándolo a un nivel de abstracción tal que hace pensar, a los que de lejos los ven trabajar, que se mueven en un mundo de modelos matemáticos etéreos, e inútiles fuera de su dominio. Sin embargo, esta impresión es simplemente engañosa, pues lo que hacen deben seguir haciéndolo así, pues la historia de la ciencia ha demostrado que con frecuencia llega el momento en que sus creaciones, aparentemente inútiles, resultan particularmente valiosas para la estructuración de modelos de investigación de los fenómenos físicos, entre otros. Bastan dos ejemplos para ilustrar esto: la geometría no-euclidiana de Georg Riemann y las álgebras de Sophus Lie; la primera, lenguaje de la Relatividad Generalizada; la segunda, instrumento eficaz de la Física de Partículas.
Pues bien, tal como se lee en la introducción de la tesis doctoral de Eduardo Luna, Riemann y Darboux [Jean Gaston] establecieron el siglo pasado los teoremas de existencia, unicidad y continuidad de las soluciones de las ecuaciones diferenciales hiperbólicas lineales tomando como condiciones de frontera las curvas características de esas ecuaciones. Más tarde, en 1904, E. Goursat las estudió en dos dimensiones, considerando condiciones de frontera más generales, a saber: dos curvas planas cualesquiera interceptándose. La línea de generalización fue continuada en 1927 por S. Mazur y J. Schauder, quienes se ocuparon de las ecuaciones hiperbólicas no-lineales. Sus resultados fueron a su vez generalizados por Z. Szmyth y J. Kisynki en los años 1956, 1957, 1958 y 1960.
En un trabajo que en 1973 aún no había sido publicado, A. Aziz y el asesor doctoral de Eduardo Luna, el profesor W. Bogdanowicz, presentan los resultados de su investigación de un problema tipo Goursat para ecuaciones hiperbólicas no-lineales con la peculiaridad de que los valores de las funciones incógnitas pertenecen al conjunto de los números reales y satisfacen ellas mismas las condiciones de contorno de Cauchy. Es de este trabajo de donde parten las investigaciones de Eduardo Luna en el campo de las ecuaciones diferenciales parciales. Su primer trabajo generaliza los resultados de Aziz y Bogdanowicz, utilizando funciones incógnitas más generales de espectro de valores numéricos perteneciente a un espacio de S. Banach y cuyas derivadas no son ya las ordinarias, sino las de S. Sobolev, definidas por la aplicación de un operador integral sobre las ordinarias, y con las condiciones de contorno de Cauchy discontinuas expresables por funciones de Lebesgue-Bochner localmente sumables.
En el trabajo que hoy presentamos, Eduardo Luna establece los teoremas de existencia y unicidad de la solución de un tipo particular de ecuación diferencial, donde la función incógnita pertenece a un espacio de Banach, y las derivadas son las generalizadas de Sobolev.
Es realmente admirable que en una Universidad dominicana se hagan investigaciones de esta calidad. Constituye una muestra inequívoca de las excelentes alturas que puede alcanzar su nivel académico, requisito indispensable para que pueda vestir con dignidad y orgullo su toga universitaria.
Ante la alegre proliferación de Universidades que tiene lugar en el país desde hace unos años, propulsada en unos casos por encomiables intenciones de servicio nacional, y en otras por el más descarado afán de negocio y lucro, no queda otro camino a las Universidades que se respeten a sí mismas que consolidar este respeto propio con el mantenimiento de un excelente nivel académico; y para lograrlo, juega un papel protagónico la investigación científica universitaria, como lo dejan ver con claridad las siguientes palabras de Ortega y Gasset, citadas ya por mí en otras ocasiones y que seguiré citando cuantas veces se me presente la oportunidad de hacerlo ([1], p.120): “Una atmósfera cargada de entusiasmo y esfuerzos científicos es el supuesto radical para la existencia de la Universidad. Precisamente porque ésta no es por sí misma ciencia -creación omnímoda del saber rigoroso- tiene que vivir de ella (…) La ciencia es la dignidad de la Universidad; más aún -porque, al fin y al cabo, hay quien vive sin dignidad- es el alma de la Universidad, el principio mismo que le nutre de vida e impide que sea sólo un vil mecanismo”.
Algunos me dirán, hojeando el trabajo de Eduardo Luna luego de escuchar los párrafos precedentes: “Investigación, de acuerdo; pero la que necesita el país para su desarrollo, para resolver sus problemas inmediatos. La de Eduardo es una inutilidad, es un lujo que sale caro, es un privilegio el darle tiempo para hacerla”.
Caramba, en algunos puntos estoy de acuerdo con mis interlocutores. Ciertamente, la Universidad debe (y en el caso de la muestra, puede) ayudar al país en la solución de sus acuciantes problemas. Es mucho lo que puede hacerse. Cuando fui Director del Departamento de Ciencias Naturales intenté lanzarlo, aunque modestamente, en esa dirección, pero con modestos resultados, a pesar del interés que en ellos pusieron las autoridades universitarias. La disposición de ayuda en el sentido señalado lo ha manifestado la UCMM [PUCMM] aquí y allá, y son varios los proyectos de investigación, afines con esa disposición, que ahora recuerdo. Es de desearse, sin embargo, a mi juicio, una política más intensa y eficaz en esa dirección comunitaria.
No hay, pues, que despreciar las investigaciones utilitarias; ellas cumplen su función, llenan su cometido; pero no incurramos en el error de creer que sean las únicas que deban hacerse. ¿Entonces? ¿La investigación por la investigación, como el arte por el arte? Investigación por amor a la verdad, respondo, la llamada investigación pura como viene ilustrada por la siguiente actitud de Euclides de Alejandría que tanto me gustó (en [2]). Enseñaba Euclides la geometría cuando uno de sus nuevos discípulos le preguntó:
¿Qué obtendré al aprender estas cosas?
Euclides llama entonces a su esclavo y le dice:
Dale diez centavos, pues éste tiene que sacar provecho de lo que aprende. l
Fuentes
[1] J. Ortega y Gasset; El libro de las misiones, p.120: Editorial Espasa-Calpe, Colección
Austral #101, España, 1959.
[2] H. S. M. Coxeter; Fundamentos de Geometría: Editorial Limusa-Wiley,
México, 1971.
Dinápoles Soto Bello es profesional de la Física y la Matemática
